직접 구현해 본 것은 아니지만 아래와 같이 처리해 보시고 피드백 부탁드립니다.
-- 아 래 --
1. /eyoom/extend/uchat2.extend.php 파일 생성

<?php
include_once("_common.php");

if(!function_exists('uchat_array2data')) {
	function uchat_array2data($arr) {
		$arr['time'] = time();
		ksort($arr);
		$arr = array_filter($arr);
		$arr['hash'] = md5(implode($arr['token'], $arr));
		unset($arr['token']);
		array_walk($arr, create_function('&$v,$k','$v="$k ".urlencode($v);'));
		return implode("|", $arr);
	}
}
$joinData = array();
$joinData['room'] = '룸';
$joinData['token'] = '토큰';

$joinData['nick'] = $member['mb_nick'];
$joinData['id'] = $member['mb_id'];
$joinData['level'] = $member['mb_level'];
$joinData['auth'] = $is_admin?"admin":"";
if($is_member) {
	$uicon_file = "/data/member/".substr($member['mb_id'],0,2)."/".$member['mb_id'].".gif";
	if(file_exists((G5_PATH?G5_PATH:$g4['path']).$uicon_file))
		$joinData['icons'] = $uicon_file;
}
//$joinData['nickcon'] = '';
//$joinData['other'] = '';

$tpl->assign('joinData', $joinData);
?>

2. 유챗을 메인에서 생성하려면 /eyoom/theme/테마명/main/index_bs.html 파일을
    유챗을 사이드 영역에서 출력하려면 /eyoom/theme/테마명/layout/side_bs.html 파일에 아래 소스를 각각 원하는 위치에 입력해 주세요.

<script async src="//client.uchat.io/uchat.js"></script>
<u-chat room='{_joinData.room}' user_data='{=uchat_array2data(_joinData)}' style="display:inline-block; width:300px; height:200px;"></u-chat>

위 소스에서 style 부분은 제거하시거나 적당히 조절해 주세요.
이윰빌더의 테마는 반응형 테마인데 위와 같이 style을 embed 방식으로 처리하게 되면 다른 해상도에서 보았을 때 가로폭 문제가 발생할 거예요.
참고해 주시고 피드백 부탁드립니다.
감사합니다.

이상없이 너무너무 잘 됩니다 ㅎㅎㅎㅎ 정말 감사합니다!!!
회원연동 이상없고,
style부분을 삭제했더니 모바일과 pc 환경에서 가로폭도 잘 조절되어 나옵니다!
다만 세로폭이 너무 작은듯 보여서 style부분에서 가로폭은 지우고 세로폭만 적용했더니
크기 조절이 안되더라구요 ㅠ...
새창으로 열면 크게 열리긴 하는데
혹시 세로폭을 반응형에 맞게 좀 키울 수 있는 방법은 없을까요?
질문이 또 생겨 너무 죄송합니다 ㅠㅠㅠ
저도 열심히 한번 알아보고 댓글로 남겨놓을게요!

그냥 스타일을 width만 주어서 그럴 것 같습니다.
display: inline-block 속성도 함께 넣어주시면 해결 될 것으로 보입니다.
테스트 결과 말씀 주셔서 감사드립니다.
오늘도 멋진 하루 되세요.

이윰님 조언대로 하니 완벽히 작동합니다ㅎㅎㅎ
혹시 저처럼 적용하실분들은
width:100%; height:340px로 하시면 딱 맞습니다

일단 초보니 유챗에 회원가입을 했습니다 그리고 어떻게 적용을 하는 것인가요?
초보들을 위해서 위챗을 연동하는 것을 순서대로 조금 알려주실 수 있는지요?

저도 잘 모르지만 ㅠ
유챗 홈페이지를 들어가시면 메인화면에 '유챗2(베타)'가 있어요.
여기 들어가서 회원가입 하시고, 관리페이지에 들어가셔서 채팅방을 생성하시면 돼요.
연동 설정이나, 다양한 권한 설정들은 관리페이지에서 쉽게 하실 수 있어요.
마지막에 채팅방 생성하는 페이지에서 그누보드5를 선택하고 소스를 생성하시면
제가 본문에 올린 소스가 나오는데, 이걸 이윰님 댓글대로 설치하면 잘 연동되어 나옵니다 ㅎㅎㅎ

헉..바쁘신데 이렇게 친절하게...감사드립니다
좋은 하루 되세요